論理回路の簡単化

2.2　論理関数の簡単化

いま，3つの論理変数をX,Y,Zとして，論理演算の基本公式を示す．

(2.1)

(1.1)’

（交換則）
(2.2)

(1.2)’

（結合則）
(2.3)

(1.3)’

（分配則）
(2.4)

(1.4)’

（べき等則）
(2.5)

(1.5)’

（吸収則）
(2.6)

(1.6)’

（吸収則）
(2.7)

(1.7)’

（恒等則）
(2.8)

(1.8)’

（帰無則）
(2.9)

(1.9)’

（補元則）
(2.10)

（復元則）

ここで，左右に示した式は，論理積を論理和に，定数０を定数１に置き換えることによって他方が得られる．このような関係にある式の性質を双対性という．
また，次に示す式はドモルガンの定理という．NANDおよびNORは，ドモルガンの定理を用いて書き直すことができる．すなわち，図2.8に示す左右の回路は等価になる．

図2.8　ドモルガンの定理

　表2.8に示した３変数の真理値表の論理関数について式による表現を求めてみる．
4行目に着目すると，X2,X1,X0がそれぞれ０，１，１の場合に

の論理値が１となることがわかる．同様に５行目では，X2,X1,X0がそれぞれ１，０，０の場合に

の論理値が１となり，以下同様に考えるとZが１となる各行の論理変数について，値が０ならば反転，１ならば非反転として論理積をとり，全部の論理和をとったものがZの論理関数となることがわかる．すなわち，

(2.11)

で表される．このようなすべての変数の反転または非反転の論理積を論理和で結んだ論理関数を特殊加法標準形（または主加法標準形）とよび，各項は最小項（または極小項）と呼ばれる．

表2.8　３変数論理関数の例

X2	X1	X0	Z
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 1 1 1 1 1

一方，特殊加法標準形と同じようなものに特殊乗法標準形（または主乗法標準形）があり，真理値表から次のようにして求めることができる．(1)真理値表の関数値が０になっている行について，変数値が０のものはそのまま，１のものは反転してすべての変数の論理和をとる，(2)関数値がすべて０となる行について同様の操作を行い，得られたすべての論理和の論理積をとる．ここで得られる論理和は最大項（または極大項）と呼ばれるものである．表1.9を特殊乗法標準形で表すと次式となる．

(2.12)

同じ真理値表を満たす論理関数も(2.11)式や(2.12)式のように異なる形で表すことができる．また，先に述べた基本公式を用いれば，これらの論理関数はより簡単な形で表すことができる．論理関数の簡単化の例として，基本公式を用いて(2.11)式の簡単化を行う．

　・・・（補元則より）

　・・・（吸収則より） (2.13)

簡単化の方法としては，公式を用いる方法の他に，ベイチ図を用いる方法がある．ベイチ図とは，図2.9(a)のように長方形の図の中に論理変数の論理値を割り当てたものである．論理変数の値の全て組合せに対応するますがあり，真理値表に対応したますに０または１の値を記入することによって論理関数を表すことができる．排他的論理和のベイチ図を図2.9(b)に示す．
　５変数までの論理関数はベイチ図により容易に表すことができる．図2.10は３，４，５変数の場合のベイチ図の論理変数の割り当て例である．

図2.9　ベイチ図の例

図2.10　３，４，５変数のベイチ図

ベイチ図を用いた簡単化の方法について説明する．表1.10に示した真理値表をベイチ図に直すと，図1.19のように表される．図中の隣り合ったますで論理値が１の部分があればそれらをまとめて表すことができる．例えば，破線(1)のように隣り合ったますはX1X0で表すことができる．更に，破線(2)で囲った４つのますはX2で表すことができる．論理関数は論理積によりまとめられたますの論理和を取ればよい．以上の結果から論理関数は，